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<!DOCTYPE html>

<title>Elliptische Funktion</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Elliptische Funktion</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Im <a href="Mathematik" title="Mathematik">mathematischen</a> Teilgebiet der <a href="Funktionentheorie" title="Funktionentheorie">Funktionentheorie</a> sind elliptische Funktionen spezielle <a href="Meromorphe_Funktion" title="Meromorphe Funktion">meromorphe Funktionen</a>, die zwei Periodizitätsbedingungen erfüllen. Elliptische Funktionen heißen sie, weil sie ursprünglich von <a href="Elliptisches_Integral" class="mw-redirect" title="Elliptisches Integral">elliptischen Integralen</a> abstammen. Diese wiederum treten bei der Berechnung des Umfangs einer <a href="Ellipse" title="Ellipse">Ellipse</a> auf.

Wichtige elliptische Funktionen sind die <a href="Jacobische_elliptische_Funktion" class="mw-redirect" title="Jacobische elliptische Funktion">Jacobischen elliptischen Funktionen</a> und die <a href="Weierstra%C3%9Fsche_%E2%84%98-Funktion" title="Weierstraßsche ℘-Funktion">Weierstraßsche ℘-Funktion</a>.

Weitere Entwicklungen haben zu den <a href="Modulform" class="mw-redirect" title="Modulform">modularen Funktionen</a> und den hyperelliptischen Funktionen geführt.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

Eine elliptische Funktion ist eine meromorphe Funktion, für die zwei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }" loading="lazy">-<a href="Lineare_Unabh%C3%A4ngigkeit" title="Lineare Unabhängigkeit">linear unabhängige</a> <a href="Komplexe_Zahl" title="Komplexe Zahl">komplexe Zahlen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} }">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/51067e4415d37ab9e7a5bbfb942cdc6a4d16ceb4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.553ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} }" loading="lazy"> existieren, sodass gilt:

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} \colon f(z+\omega _{1})=f(z)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/35ff64dd3366540c7d456e3c5da0420ac92eea8f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.724ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} \colon f(z+\omega _{1})=f(z)}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(z+\omega _{2})=f(z)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(z+\omega _{2})=f(z)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4e60b0f5c07a444f69320e2a92cacb6d0661de46.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.791ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(z+\omega _{2})=f(z)}" loading="lazy"></dd></dl>

Elliptische Funktionen haben also zwei Perioden und werden deshalb auch als doppeltperiodisch bezeichnet.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Periodengitter_und_Grundmasche">Periodengitter und Grundmasche</h2></div>

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> eine elliptische Funktion und sind <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dc9e7a34c1cd21e1fda694fca931aab81277773b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.034ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}}" loading="lazy"> die Perioden, so gilt

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(z+\gamma )=f(z)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ac1235612dee48ff60938793d8e4889bdaa3b19e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.553ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(z+\gamma )=f(z)}" loading="lazy"></dd></dl>

für jede <a href="Linearkombination" title="Linearkombination">Linearkombination</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma =m\omega _{1}+n\omega _{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma =m\omega _{1}+n\omega _{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b7ca5ed24e2b5854ebf291a5a2d643f6463502ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.636ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \gamma =m\omega _{1}+n\omega _{2}}" loading="lazy"> mit <a href="Ganze_Zahl" title="Ganze Zahl">ganzen Zahlen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f932c786e686277b8f060aae74134ce9fc3e3348.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.86ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }" loading="lazy">.

Die <a href="Abelsche_Gruppe" title="Abelsche Gruppe">abelsche Gruppe</a>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Lambda :=\langle \omega _{1},\omega _{2}\rangle _{\mathbb {Z} }:=\mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}:=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}\mid m,n\in \mathbb {Z} \}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3d76cdaa564811709ee08e73a4ed3174f8c24f6d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:57.36ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Lambda :=\langle \omega _{1},\omega _{2}\rangle _{\mathbb {Z} }:=\mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}:=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}\mid m,n\in \mathbb {Z} \}}" loading="lazy"></dd></dl>

heißt das Periodengitter. Es ist ein vollständiges <a href="Gitter_(Mathematik)" title="Gitter (Mathematik)">Gitter</a> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }" loading="lazy">.

Das von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e20e29ac56d6cc52eaeb2f9c0bf79ef706428ddf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.5ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \omega _{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7b914a8bfef5d1b9b106048afa0aab4a99251f38.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.5ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \omega _{2}}" loading="lazy"> aufgespannte <a href="Parallelogramm" title="Parallelogramm">Parallelogramm</a>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{\mu \omega _{1}+\nu \omega _{2}\mid 0\leq \mu ,\nu \leq 1\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fce0d8116e490b7712e3532191f47051a4d55600.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.926ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{\mu \omega _{1}+\nu \omega _{2}\mid 0\leq \mu ,\nu \leq 1\}}" loading="lazy"></dd></dl>

heißt Grundmasche oder auch Fundamentalbereich.

Geometrisch wird also die <a href="Komplexe_Ebene" class="mw-redirect" title="Komplexe Ebene">komplexe Ebene</a> mit Parallelogrammen gekachelt. Alles, was in der Grundmasche passiert, wiederholt sich in jeder anderen. Deshalb fasst man elliptische Funktionen auch als Funktionen auf der Faktorgruppe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf9326cf3ac2c0ad37d1d33f02c3bbb927e0af65.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.454ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }" loading="lazy"> auf. Diese Faktorgruppe kann man sich vorstellen als ein Parallelogramm, bei dem gegenüberliegende Seiten identifiziert werden, was <a href="Topologie_(Mathematik)" title="Topologie (Mathematik)">topologisch</a> einem <a href="Torus" title="Torus">Torus</a> entspricht.<a href="#cite_note-1">[1]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Liouville’sche_Sätze">Liouville’sche Sätze</h2></div>

Die folgenden Sätze über elliptische Funktionen sind als die <a href="Joseph_Liouville" title="Joseph Liouville">Liouville</a>’schen Sätze (1847) bekannt.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="1._Liouville’scher_Satz">1. Liouville’scher Satz</h3></div>

Eine holomorphe elliptische Funktion ist konstant.<a href="#cite_note-2">[2]</a>

Dies ist die ursprüngliche Version des <a href="Satz_von_Liouville_(Funktionentheorie)" title="Satz von Liouville (Funktionentheorie)">Satzes von Liouville</a> und kann aus ihm gefolgert werden:<a href="#cite_note-3">[3]</a> Eine holomorphe elliptische Funktion ist beschränkt, da sie auf der Grundmasche bereits alle ihre Werte annimmt und die Grundmasche <a href="Kompakter_Raum" title="Kompakter Raum">kompakt</a> ist. Nach dem Satz von Liouville ist sie also konstant.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="2._Liouville’scher_Satz">2. Liouville’scher Satz</h3></div>

Eine elliptische Funktion hat nur endlich viele Pole in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf9326cf3ac2c0ad37d1d33f02c3bbb927e0af65.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.454ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }" loading="lazy"> und die Summe der <a href="Residuum_(Funktionentheorie)" title="Residuum (Funktionentheorie)">Residuen</a> ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy">.<a href="#cite_note-4">[4]</a>

Aus dieser Aussage folgt, dass es keine elliptische Funktion mit genau einem einfachen Pol oder genau einer einfachen Nullstelle in der Grundmasche geben kann.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="3._Liouville’scher_Satz">3. Liouville’scher Satz</h3></div>

Eine nichtkonstante elliptische Funktion nimmt mit Vielfachheit gezählt auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf9326cf3ac2c0ad37d1d33f02c3bbb927e0af65.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.454ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }" loading="lazy"> jeden Wert gleich oft an.<a href="#cite_note-5">[5]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weierstraßsche_℘-Funktion">Weierstraßsche ℘-Funktion</h2></div>

Eine der wichtigsten elliptischen Funktionen ist die <a href="Weierstra%C3%9Fsche_%E2%84%98-Funktion" title="Weierstraßsche ℘-Funktion">Weierstraßsche ℘-Funktion</a>. Für ein festes Periodengitter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0ac0a4a98a414e3480335f9ba652d12571ec6733.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.613ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Lambda }" loading="lazy"> ist sie gegeben durch:

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6be104cfe86c258abe0a6119601204f9b31816b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:38.656ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

Nach Konstruktion hat sie an jedem Gitterpunkt einen Pol der Ordnung 2. Der Term <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -{\tfrac {1}{\lambda ^{2}}}}">

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -{\tfrac {1}{\lambda ^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/442d2a3439c05209fb1f616407d52a90453a7159.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:4.434ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle -{\tfrac {1}{\lambda ^{2}}}}" loading="lazy"> dient dazu, die Reihe konvergent zu machen.

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \wp }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f4050ebf63686af152bf1ef5caabcdf2a2d812cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.478ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \wp }" loading="lazy"> ist eine gerade elliptische Funktion, d. h. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \wp (-z)=\wp (z)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \wp (-z)=\wp (z)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/26a4312d840ee6b2afeac0e42c33a94e39d2973b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.658ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \wp (-z)=\wp (z)}" loading="lazy">.<a href="#cite_note-:0-6">[6]</a>

Ihre Ableitung

<msup>

</msup>

</mrow>

</munder>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \wp '(z)=-2\sum _{\lambda \in \Lambda }{\frac {1}{(z-\lambda )^{3}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/757b30ea7671c91186b613d8144554b057dccf2b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:24.242ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \wp '(z)=-2\sum _{\lambda \in \Lambda }{\frac {1}{(z-\lambda )^{3}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

ist eine ungerade elliptische Funktion, d. h. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \wp '(-z)=-\wp '(z).}">

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \wp '(-z)=-\wp '(z).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b94ebcdb828df717d94b03c28f5741b31bc97f1e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.483ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \wp '(-z)=-\wp '(z).}" loading="lazy"><a href="#cite_note-:0-6">[6]</a>

Eines der wichtigsten Resultate der Theorie der elliptischen Funktionen ist die folgende Aussage: Jede elliptische Funktion zum Periodengitter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0ac0a4a98a414e3480335f9ba652d12571ec6733.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.613ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Lambda }" loading="lazy"> lässt sich als <a href="Rationale_Funktion" title="Rationale Funktion">rationale Funktion</a> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \wp }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \wp }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f4050ebf63686af152bf1ef5caabcdf2a2d812cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.478ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \wp }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \wp '}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \wp '}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/98cc7b9ef41a255d70915227b703405b168cd8bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.163ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \wp '}" loading="lazy"> schreiben.<a href="#cite_note-7">[7]</a>

Die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \wp }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \wp }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f4050ebf63686af152bf1ef5caabcdf2a2d812cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.478ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \wp }" loading="lazy">-Funktion erfüllt folgende <a href="Differentialgleichung" title="Differentialgleichung">Differentialgleichung</a>:

<msup>

<mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \wp '^{2}(z)=4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8bd23acdd6bc4b7e962d02cf1bdfbf75858faccd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.956ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \wp '^{2}(z)=4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}}" loading="lazy"></dd></dl>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f0261c34f2ad1e1b5317708b7f98ae13ee70ff1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.163ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g_{2}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g_{3}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g_{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/207852a9b2705498c65b929b79fdda27b257ec87.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.163ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g_{3}}" loading="lazy"> sind Konstanten, die von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e20e29ac56d6cc52eaeb2f9c0bf79ef706428ddf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.5ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \omega _{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7b914a8bfef5d1b9b106048afa0aab4a99251f38.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.5ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \omega _{2}}" loading="lazy"> abhängen. Genauer gilt: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})=60G_{4}(\omega _{1},\omega _{2})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})=60G_{4}(\omega _{1},\omega _{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8aa6b800e9368e5ca93fa3c40a5ec0b235b83ccd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.154ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})=60G_{4}(\omega _{1},\omega _{2})}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})=140G_{6}(\omega _{1},\omega _{2})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})=140G_{6}(\omega _{1},\omega _{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d35eb9e5e0cbed4c63d269287685c2cd86cb5d8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.317ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})=140G_{6}(\omega _{1},\omega _{2})}" loading="lazy">, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G_{4}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G_{4}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/149de5cbc9bd78a60484b9c011a9020531255118.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.881ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G_{4}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G_{6}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G_{6}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/08981ac4e2b253c7ff0e57783aa846de672afabc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.881ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G_{6}}" loading="lazy"> <a href="Eisensteinreihe" title="Eisensteinreihe">Eisensteinreihen</a> sind.<a href="#cite_note-8">[8]</a>

In <a href="Algebra" title="Algebra">algebraischer</a> Sprache bedeutet dieser Satz: Der <a href="K%C3%B6rper_(Algebra)" title="Körper (Algebra)">Körper</a> der elliptischen Funktionen zum Periodengitter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0ac0a4a98a414e3480335f9ba652d12571ec6733.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.613ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Lambda }" loading="lazy"> ist <a href="Isomorph" class="mw-redirect" title="Isomorph">isomorph</a> zum Körper

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} (X)[Y]/(Y^{2}-4X^{3}+g_{2}X+g_{3}).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/040e7a8e3984abf75e4c01c4b88dcba09144ebd9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.149ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} (X)[Y]/(Y^{2}-4X^{3}+g_{2}X+g_{3}).}" loading="lazy"></dd></dl>

Unter diesem Isomorphismus wird <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \wp }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \wp }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f4050ebf63686af152bf1ef5caabcdf2a2d812cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.478ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \wp }" loading="lazy"> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \wp '}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \wp '}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/98cc7b9ef41a255d70915227b703405b168cd8bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.163ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \wp '}" loading="lazy"> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> abgebildet.

<div class="gallerytext">Weierstraß’sche ℘-Funktion zum Gitter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma =[1,e^{\pi i/3}]}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma =[1,e^{\pi i/3}]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c2c01295d502f3668ff7c4fbfacc07d52f402e7c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.51ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \Gamma =[1,e^{\pi i/3}]}" loading="lazy"> im Bereich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [-3/2,3/2]\times [-9/8,9/8]i}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [-3/2,3/2]\times [-9/8,9/8]i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/666ac571b873752d73cc96e85e0e1108011647ec.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.864ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [-3/2,3/2]\times [-9/8,9/8]i}" loading="lazy">, die Nullstellen erscheinen schwarz und die Polstellen weiß</div>

</li>

<div class="gallerytext">Ableitung dieser ℘-Funktion im gleichen Bereich und mit gleicher Farbgebung</div>

</li>

<div class="gallerytext">℘-Funktion zum Gitter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma =[1,{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {i}{2}}]}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma =[1,{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {i}{2}}]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5242d1b03e0197476382e5b29ebc7a6666aaf5f0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:14.198ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \Gamma =[1,{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {i}{2}}]}" loading="lazy"> im gleichen Bereich und mit gleicher Farbgebung</div>

</li>

</ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zusammenhang_mit_elliptischen_Integralen">Zusammenhang mit elliptischen Integralen</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Entdeckung_des_Zusammenhangs">Entdeckung des Zusammenhangs</h3></div>

Der Zusammenhang elliptischer Funktionen mit <a href="Elliptisches_Integral" class="mw-redirect" title="Elliptisches Integral">elliptischen Integralen</a> ist hauptsächlich von historischer Natur. Elliptische Integrale wurden unter anderem bereits von <a href="Adrien-Marie_Legendre" title="Adrien-Marie Legendre">Legendre</a> studiert, dessen Arbeit sowohl von Abel als auch von Jacobi zunächst unabhängig voneinander fortgeführt wurde.

Abel stieß auf die elliptischen Funktionen, indem er die Umkehrfunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"> des elliptischen Integrals

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha =\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {(1-c^{2}t^{2})(1+e^{2}t^{2})}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6a100baee3706631501a63b32e18b1ccfe85f2e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:31.381ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha =\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {(1-c^{2}t^{2})(1+e^{2}t^{2})}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

betrachtete, also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=\varphi (\alpha )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=\varphi (\alpha )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/30c2d9b4b249e92a2472ba1f0a4f6ee349ea0abc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.245ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x=\varphi (\alpha )}" loading="lazy">.<a href="#cite_note-9">[9]</a>

Bei seinen Untersuchungen dieser Funktion definierte er die Funktionen:<a href="#cite_note-10">[10]</a>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(\alpha )={\sqrt {1-c^{2}\varphi ^{2}(\alpha )}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/73d08a76d4e66d98f39694b309b3dc3fab98117b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:21.933ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle f(\alpha )={\sqrt {1-c^{2}\varphi ^{2}(\alpha )}}}" loading="lazy"></dd></dl>

und

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(\alpha )={\sqrt {1+e^{2}\varphi ^{2}(\alpha )}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/df35140cdb7b76a5157eb92576d1aa91bd954ff8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:22.472ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle F(\alpha )={\sqrt {1+e^{2}\varphi ^{2}(\alpha )}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Diese drei Funktionen stellten sich nach <a href="Analytische_Fortsetzung" title="Analytische Fortsetzung">Fortsetzen</a> in die <a href="Komplexe_Ebene" class="mw-redirect" title="Komplexe Ebene">komplexe Ebene</a> als doppeltperiodische Funktionen heraus und werden abelsche elliptische Funktionen genannt.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Vollständiges_elliptisches_Integral_und_elliptisches_Nomen">Vollständiges elliptisches Integral und elliptisches Nomen</h3></div>

Der französische Mathematiker <a href="Adrien-Marie_Legendre" title="Adrien-Marie Legendre">Adrien-Marie Legendre</a> definierte das vollständige elliptische Integral erster Art <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K(\varepsilon )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K(\varepsilon )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/82fd9a8f7c70194ba132f628ca48a9a5ea2715d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.959ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle K(\varepsilon )}" loading="lazy"> und das vollständige elliptische Integral zweiter Art <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E(\varepsilon )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(\varepsilon )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a9dd9e5557fa26f215b5c0b294f6c5dacde3db94.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.668ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E(\varepsilon )}" loading="lazy"> als Funktionen:

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K(\varepsilon )=\int _{0}^{\pi /2}{\bigl [}1-\varepsilon ^{2}\sin(\varphi )^{2}{\bigr ]}^{-1/2}\,\mathrm {d} \varphi =\int _{0}^{1}(1-z^{2})^{-1/2}(1-\varepsilon ^{2}z^{2})^{-1/2}\,\mathrm {d} z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a625a9385bd92357c2dff9bc968e3481d4246654.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:71.999ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle K(\varepsilon )=\int _{0}^{\pi /2}{\bigl [}1-\varepsilon ^{2}\sin(\varphi )^{2}{\bigr ]}^{-1/2}\,\mathrm {d} \varphi =\int _{0}^{1}(1-z^{2})^{-1/2}(1-\varepsilon ^{2}z^{2})^{-1/2}\,\mathrm {d} z}" loading="lazy"></dd>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(\varepsilon )=\int _{0}^{\pi /2}{\bigl [}1-\varepsilon ^{2}\sin(\varphi )^{2}{\bigr ]}^{1/2}\,\mathrm {d} \varphi =\int _{0}^{1}(1-z^{2})^{-1/2}(1-\varepsilon ^{2}z^{2})^{1/2}\,\mathrm {d} z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2852ff11b7b3a606924bd3089bdda7dca666ec35.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:69.151ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle E(\varepsilon )=\int _{0}^{\pi /2}{\bigl [}1-\varepsilon ^{2}\sin(\varphi )^{2}{\bigr ]}^{1/2}\,\mathrm {d} \varphi =\int _{0}^{1}(1-z^{2})^{-1/2}(1-\varepsilon ^{2}z^{2})^{1/2}\,\mathrm {d} z}" loading="lazy"></dd></dl>

Mit diesen Integraldefinitionen sind folgende Definitionen über MacLaurinsche Summenreihen identisch:

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K(\varepsilon )={\frac {\pi }{2}}{\biggl [}1+\sum _{n=1}^{\infty }\,{\frac {\operatorname {CBC} (n)^{2}}{16^{n}}}\,\varepsilon ^{2n}{\biggr ]}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84928869ea239a4e568c5ec23d5345179c3df19f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:34.419ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle K(\varepsilon )={\frac {\pi }{2}}{\biggl [}1+\sum _{n=1}^{\infty }\,{\frac {\operatorname {CBC} (n)^{2}}{16^{n}}}\,\varepsilon ^{2n}{\biggr ]}}" loading="lazy"></dd>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(\varepsilon )={\frac {\pi }{2}}{\biggl [}1-\sum _{n=1}^{\infty }\,{\frac {\operatorname {CBC} (n)^{2}}{16^{n}(2n-1)}}\,\varepsilon ^{2n}{\biggr ]}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd8ac1254aa1010251cc86df9b130faef32e8b9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:36.782ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle E(\varepsilon )={\frac {\pi }{2}}{\biggl [}1-\sum _{n=1}^{\infty }\,{\frac {\operatorname {CBC} (n)^{2}}{16^{n}(2n-1)}}\,\varepsilon ^{2n}{\biggr ]}}" loading="lazy"></dd></dl>

Der Funktionsausdruck <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {CBC} (n)=(2n)!/(n!)^{2}=\Gamma (2n+1)/\Gamma (n+1)^{2}}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {CBC} (n)=(2n)!/(n!)^{2}=\Gamma (2n+1)/\Gamma (n+1)^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/20affc03b081a726bd6ba2c857c99000a45ba112.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:46.182ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {CBC} (n)=(2n)!/(n!)^{2}=\Gamma (2n+1)/\Gamma (n+1)^{2}}" loading="lazy"> drückt den <a href="Mittlerer_Binomialkoeffizient" title="Mittlerer Binomialkoeffizient">Zentralbinomialkoeffizienten</a> aus.

Der Mathematiker <a href="Robert_Fricke_(Mathematiker)" title="Robert Fricke (Mathematiker)">Robert Fricke</a>, aber auch die Mathematiker Folkmar Bornemann, Dirk Laurie, Stan Wagon und Jörg Waldvogel erforschten das <a href="Elliptisches_Nomen" title="Elliptisches Nomen">elliptische Nomen</a> beziehungsweise die Jacobische Entwicklungsgröße <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q(k)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q(k)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47a776cf8ba79f13b8ac754d49b8e46945843363.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.09ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle q(k)}" loading="lazy">, welche so definiert ist:

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q(k)=\exp {\biggl [}-\pi \,{\frac {K({\sqrt {1-k^{2}}})}{K(k)}}{\biggr ]}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/85afb82649033c19f2f3d779ea5cd4bb7dcda556.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:31.446ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle q(k)=\exp {\biggl [}-\pi \,{\frac {K({\sqrt {1-k^{2}}})}{K(k)}}{\biggr ]}}" loading="lazy"></dd></dl>

Zur standardisierten <a href="Jacobische_Thetafunktion#Definition" title="Jacobische Thetafunktion">Jacobischen Theta-Nullwertfunktion</a> stellt das elliptische Nomen den Bezug zu den elliptischen Integralen her:

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \vartheta _{00}{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}=1+2\sum _{n=1}^{\infty }q(\varepsilon )^{-n^{2}}={\biggl [}{\frac {2}{\pi }}K(\varepsilon ){\biggr ]}^{1/2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e82fb8af10fdb70b1d9c2fe8ff03013505e9f795.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:44.214ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle \vartheta _{00}{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}=1+2\sum _{n=1}^{\infty }q(\varepsilon )^{-n^{2}}={\biggl [}{\frac {2}{\pi }}K(\varepsilon ){\biggr ]}^{1/2}}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Jacobische_elliptische_Funktionen">Jacobische elliptische Funktionen</h3></div>

Auch die <a href="Jacobische_elliptische_Funktion" class="mw-redirect" title="Jacobische elliptische Funktion">Jacobischen elliptischen Funktionen</a> entstanden durch die Umkehrung elliptischer Integrale.

Jacobi betrachtete diese Integralfunktion, welche die Arkussinusform von der Legendreschen Standardform des unvollständigen elliptischen Integrals erster Art ist:

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mi>arcsin</mi>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi (x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}=F{\bigl [}\arcsin(x);k{\bigr ]}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/308ac555f90d6d20241ee225fd70bc1fbed361d7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:52.886ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle \xi (x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}=F{\bigl [}\arcsin(x);k{\bigr ]}}" loading="lazy"></dd></dl>

Und diese Form invertierte Jacobi nach folgendem Muster: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=\operatorname {sn} (\xi ;k)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=\operatorname {sn} (\xi ;k)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eace0c2645eb2972011f88000c6ceaef8519c793.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.721ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x=\operatorname {sn} (\xi ;k)}" loading="lazy">. Hierbei steht <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {sn} }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {sn} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/07fc4a1c1c7d5576f9e6b5d6e8aa30337c9531ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.209ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {sn} }" loading="lazy"> für sinus amplitudinis und bezeichnet die neue Funktion.<a href="#cite_note-11">[11]</a>

Diese Funktion erhält ihren Namen deswegen, weil sie die Sinus-Funktion aus der Jacobischen Amplitude <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {am} (\xi )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {am} (\xi )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5c242b377d8f0cc647631cf03292d65feea3094b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.938ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {am} (\xi )}" loading="lazy"> ist:

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {sn} (\xi ;k)=\sin {\bigl [}\operatorname {am} (\xi ;k){\bigr ]}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ac7dd4d01c1dc05e802192ab9125270b324ae6fa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:24.144ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {sn} (\xi ;k)=\sin {\bigl [}\operatorname {am} (\xi ;k){\bigr ]}}" loading="lazy"></dd></dl>

Darüber hinaus führte er die Funktionen cosinus amplitudinis und delta amplitudinis ein, die wie folgt definiert sind:

Ganz analog zum zuvor genannten Fall erhält die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {cn} (\xi ;k)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {cn} (\xi ;k)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/51fb197e220486115134f88f2f5968b430decb57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.409ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {cn} (\xi ;k)}" loading="lazy"> ihren Namen deswegen, weil sie dementsprechend die Cosinus-Funktion aus der Jacobischen Amplitude <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {am} (\xi )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {am} (\xi )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5c242b377d8f0cc647631cf03292d65feea3094b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.938ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {am} (\xi )}" loading="lazy"> ist:

</mrow>

</mrow>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {cn} (\xi ;k)=\cos {\bigl [}\operatorname {am} (\xi ;k){\bigr ]}:={\sqrt {(1-x^{2})}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/58b5112089272e5368be78b0d1a864560f4dd327.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:38.781ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {cn} (\xi ;k)=\cos {\bigl [}\operatorname {am} (\xi ;k){\bigr ]}:={\sqrt {(1-x^{2})}}}" loading="lazy"></dd>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {dn} (\xi ;k)={\frac {\partial }{\partial \xi }}\operatorname {am} (\xi ;k):={\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e0f31b24d0d998e869dcc77aa82443fd98458514.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:37.244ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {dn} (\xi ;k)={\frac {\partial }{\partial \xi }}\operatorname {am} (\xi ;k):={\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Erst durch diesen Schritt konnte Jacobi 1827 seine allgemeine Transformationsformel elliptischer Integrale beweisen.<a href="#cite_note-12">[12]</a>

Die Bezeichnung Delta wurde dieser Funktion gegeben, weil sie die infinitesimalanalytische Ableitung, der Differentialquotient der Jacobischen Amplitude bezüglich des linken Klammereintrags ist.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Jacobische_Amplitude">Jacobische Amplitude</h3></div>

Die Jacobische Amplitude selbst ist stets die <a href="Umkehrfunktion" title="Umkehrfunktion">Umkehrfunktion</a> des unvollständigen elliptischen Integrals erster Art:

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F{\bigl [}\operatorname {am} (\xi ;k);k{\bigr ]}=\xi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8d65b1eebd6ba7aece000a4ccd134b1328a0440.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:18.624ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle F{\bigl [}\operatorname {am} (\xi ;k);k{\bigr ]}=\xi }" loading="lazy"></dd>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(s;k)=\int _{0}^{1}{\frac {s}{\sqrt {1-k^{2}\sin(st)^{2}}}}\,\partial t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38d831aa844ece681b146136a146befcc260360b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:33.899ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle F(s;k)=\int _{0}^{1}{\frac {s}{\sqrt {1-k^{2}\sin(st)^{2}}}}\,\partial t}" loading="lazy"></dd></dl>

Alternativ kann die Jacobische Amplitude auch als Ursprungsstammfunktion des Delta Amplitudinis aufgebaut werden:

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {am} (\xi ;k)=\int _{0}^{1}\xi \operatorname {dn} (\xi \,u;k)\,\partial u}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/77bde6d75965afd1ceb98a4a6dd8f56c7f271d21.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:29.025ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {am} (\xi ;k)=\int _{0}^{1}\xi \operatorname {dn} (\xi \,u;k)\,\partial u}" loading="lazy"></dd></dl>

Nach diesem alternativen Herleitungsweg kann das Delta Amplitudinis dann als Quotient der Jacobischen Thetafunktionen für alle elliptischen Module <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -1\leq k\leq 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -1\leq k\leq 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d963a92858b48bcf283ba0b1c338dda654ce4f3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.541ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -1\leq k\leq 1}" loading="lazy"> dargestellt werden:

<mroot>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mroot>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mroot>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mroot>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {dn} (\xi ;k)={\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\,{\frac {\vartheta _{00}[{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}\xi ;q(k)]}{\vartheta _{01}[{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}\xi ;q(k)]}}={\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+2\cos[\pi K(k)^{-1}\xi ]\,q(k)^{2n-1}+q(k)^{4n-2}}{1-2\cos[\pi K(k)^{-1}\xi ]\,q(k)^{2n-1}+q(k)^{4n-2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/252bf850ffceaf92630c42f9d646d58e50cc9d08.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:97.506ex; height:7.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {dn} (\xi ;k)={\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\,{\frac {\vartheta _{00}[{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}\xi ;q(k)]}{\vartheta _{01}[{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}\xi ;q(k)]}}={\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+2\cos[\pi K(k)^{-1}\xi ]\,q(k)^{2n-1}+q(k)^{4n-2}}{1-2\cos[\pi K(k)^{-1}\xi ]\,q(k)^{2n-1}+q(k)^{4n-2}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die genannten beiden <a href="Jacobische_Thetafunktion" title="Jacobische Thetafunktion">Jacobischen Thetafunktionen</a> wurden durch <a href="Edmund_Taylor_Whittaker" title="Edmund Taylor Whittaker">Edmund Taylor Whittaker</a> und <a href="George_Neville_Watson" title="George Neville Watson">George Neville Watson</a> so definiert:<a href="#cite_note-13">[13]</a><a href="#cite_note-14">[14]</a><a href="#cite_note-15">[15]</a>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \vartheta _{00}(v;w)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-w^{2n})[1+2\cos(2v)w^{2n-1}+w^{4n-2}]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2c5acc090a4c8a2327974fa27125ca0f796ce535.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:53.094ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \vartheta _{00}(v;w)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-w^{2n})[1+2\cos(2v)w^{2n-1}+w^{4n-2}]}" loading="lazy"></dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \vartheta _{01}(v;w)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-w^{2n})[1-2\cos(2v)w^{2n-1}+w^{4n-2}]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/05ceef12dd801305a4cf783265e8e157f4bdffde.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:53.094ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \vartheta _{01}(v;w)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-w^{2n})[1-2\cos(2v)w^{2n-1}+w^{4n-2}]}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Zeta_Amplitudinis">Zeta Amplitudinis</h3></div>

Als weitere Funktion definierte <a href="Carl_Gustav_Jacob_Jacobi" title="Carl Gustav Jacob Jacobi">Carl Gustav Jacob Jacobi</a> die Funktion <a href="Jacobische_Zetafunktion" title="Jacobische Zetafunktion">Zeta Amplitudinis</a> als Analogon der Jacobi-Funktionen zweiter Art:

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</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{zn}}(\xi ;k)=E[{\text{am}}(\xi ;k);k]-{\frac {E(k)}{K(k)}}\,\xi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a23ed25cc3046d9eeb279952d63d4602841e604c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:34.185ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\text{zn}}(\xi ;k)=E[{\text{am}}(\xi ;k);k]-{\frac {E(k)}{K(k)}}\,\xi }" loading="lazy"></dd>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<mrow>

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</mrow>

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</mrow>

</msup>

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</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {zn} (\xi ;k)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2\pi K(k)^{-1}\sin[\pi K(k)^{-1}\xi ]\,q(k)^{2n-1}}{1-2\cos[\pi K(k)^{-1}\xi ]\,q(k)^{2n-1}+q(k)^{4n-2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84381539697ab2d2da72d80c2de439038438b9b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:54.514ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {zn} (\xi ;k)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2\pi K(k)^{-1}\sin[\pi K(k)^{-1}\xi ]\,q(k)^{2n-1}}{1-2\cos[\pi K(k)^{-1}\xi ]\,q(k)^{2n-1}+q(k)^{4n-2}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Dabei gilt für das unvollständige elliptische Integral zweiter Art:

</mrow>

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</msubsup>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(s;k)=\int _{0}^{1}s{\sqrt {1-k^{2}\sin(st)^{2}}}\,\partial t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d40e24d9a6c8b1344d7a6e737ec0d95b26c5881a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:34.188ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle E(s;k)=\int _{0}^{1}s{\sqrt {1-k^{2}\sin(st)^{2}}}\,\partial t}" loading="lazy"></dd></dl>

Basierend auf der nun genannten Summendefinition des Zeta Amplitudinis können die standardisierten Jacobischen elliptischen Funktionen ebenso aufgebaut werden:

<mfrac>

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</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {sn} (\xi ;k)={\frac {2\{\operatorname {zn} ({\tfrac {1}{2}}\xi ;k)+\operatorname {zn} [K(k)-{\tfrac {1}{2}}\xi ;k]\}}{k^{2}+\{\operatorname {zn} ({\tfrac {1}{2}}\xi ;k)+\operatorname {zn} [K(k)-{\tfrac {1}{2}}\xi ;k]\}^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/acb74f4a82a548803cdf1dc00661fefbac3461c4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:48.1ex; height:7.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {sn} (\xi ;k)={\frac {2\{\operatorname {zn} ({\tfrac {1}{2}}\xi ;k)+\operatorname {zn} [K(k)-{\tfrac {1}{2}}\xi ;k]\}}{k^{2}+\{\operatorname {zn} ({\tfrac {1}{2}}\xi ;k)+\operatorname {zn} [K(k)-{\tfrac {1}{2}}\xi ;k]\}^{2}}}}" loading="lazy"></dd>

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</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {dn} (\xi ;k)={\frac {k^{2}-\{\operatorname {zn} ({\tfrac {1}{2}}\xi ;k)+\operatorname {zn} [K(k)-{\tfrac {1}{2}}\xi ;k]\}^{2}}{k^{2}+\{\operatorname {zn} ({\tfrac {1}{2}}\xi ;k)+\operatorname {zn} [K(k)-{\tfrac {1}{2}}\xi ;k]\}^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9cf8035646df422650bfacba3dfdbfde2d48bbdc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:48.476ex; height:7.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {dn} (\xi ;k)={\frac {k^{2}-\{\operatorname {zn} ({\tfrac {1}{2}}\xi ;k)+\operatorname {zn} [K(k)-{\tfrac {1}{2}}\xi ;k]\}^{2}}{k^{2}+\{\operatorname {zn} ({\tfrac {1}{2}}\xi ;k)+\operatorname {zn} [K(k)-{\tfrac {1}{2}}\xi ;k]\}^{2}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geschichte_der_elliptischen_Funktionen">Geschichte der elliptischen Funktionen</h2></div>

Dieses Gebiet wurde bald nach der Entwicklung der <a href="Infinitesimalrechnung" class="mw-redirect" title="Infinitesimalrechnung">Infinitesimalrechnung</a> von dem italienischen Mathematiker <a href="Giulio_Carlo_Fagnano_dei_Toschi" title="Giulio Carlo Fagnano dei Toschi">Giulio di Fagnano</a> und dem Schweizer Mathematiker <a href="Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Leonhard Euler</a> begründet. Bei der Berechnung der Bogenlänge einer Lemniskate stießen sie auf Integrale, in denen die Quadratwurzeln aus Polynomen 3. und 4. Grades auftraten.<a href="#cite_note-:1-16">[16]</a> Man erkannte, dass sich die sogenannten elliptischen Integrale nicht durch elementare Funktionen ausdrücken ließen. Fagnano fand eine algebraische Relation zwischen elliptischen Integralen, die er 1750 veröffentlichte.<a href="#cite_note-:1-16">[16]</a> Euler verallgemeinerte Fagnanos Ergebnisse und formulierte sein algebraisches Additionstheorem für elliptische Integrale.<a href="#cite_note-:1-16">[16]</a>

Seine Ideen wurden bis auf eine Bemerkung <a href="John_Landen" title="John Landen">Landens</a><a href="#cite_note-17">[17]</a> erst 1786 durch <a href="Adrien-Marie_Legendre" title="Adrien-Marie Legendre">Legendre</a> in seinen Werken Mémoires sur les intégrations par arcs d’ellipse weiter verfolgt.<a href="#cite_note-18">[18]</a> Legendre hat sich von da an immer wieder mit dieser Art von Integralen beschäftigt und nannte sie elliptische Funktionen. Legendre klassifizierte die elliptischen Funktionen in drei Arten, wodurch er sich den seinerzeit sehr schwierigen Zugang zu ihrer Untersuchung wesentlich erleichterte. Weitere wichtige Arbeiten Legendres sind: Mémoire sur les transcendantes elliptiques (1792),<a href="#cite_note-19">[19]</a> Exercices de calcul intégral (1811–1817),<a href="#cite_note-20">[20]</a> Traité des fonctions elliptiques (1825–1832)<a href="#cite_note-21">[21]</a>.

Ab 1826 nahmen die beiden Mathematiker <a href="Niels_Henrik_Abel" title="Niels Henrik Abel">Abel</a> und <a href="Carl_Gustav_Jakob_Jacobi" class="mw-redirect" title="Carl Gustav Jakob Jacobi">Jacobi</a> diese Untersuchungen wieder auf und kamen schnell zu ungeahnten neuen Erkenntnissen. Neu an deren Arbeiten war, dass sie die Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale betrachteten. Diese inversen Funktionen heißen nach einem Vorschlag Jacobis von 1829 elliptische Funktionen. Eines der wichtigsten Werke von Jacobi ist das Buch Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum aus dem Jahr 1829.<a href="#cite_note-22">[22]</a> Das von Euler in spezieller Form gefundene Additionstheorem wurde in seiner allgemeinen Form 1829 von Abel formuliert und bewiesen. Zu dieser Zeit wurden die Theorie der elliptischen Funktionen und die Theorie der doppeltperiodischen Funktionen noch als zwei verschiedene Theorien betrachtet. Zusammengeführt wurden sie von <a href="Charles_Briot" title="Charles Briot">Briout</a> und <a href="Jean-Claude_Bouquet" title="Jean-Claude Bouquet">Bouquet</a> 1856.<a href="#cite_note-23">[23]</a> <a href="Carl_Friedrich_Gau%C3%9F" title="Carl Friedrich Gauß">Gauß</a> hatte, wie er selbst bemerkte und wie sich auch hat nachweisen lassen, schon dreißig Jahre vorher viele Eigenschaften der elliptischen Funktionen gefunden, aber nichts darüber publiziert.<a href="#cite_note-24">[24]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Elliptische_Kurve" title="Elliptische Kurve">Elliptische Kurve</a></li>

<li><a href="Lemniskatischer_Sinus" class="mw-redirect" title="Lemniskatischer Sinus">Lemniskatische Sinus- und Cosinusfunktion</a></li>

<li><a href="Thetafunktion" class="mw-redirect" title="Thetafunktion">Thetafunktion</a></li>

<li><a href="Rational_elliptische_Funktionen" title="Rational elliptische Funktionen">Rational elliptische Funktionen</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Heinrich_Burkhardt_(Mathematiker)" title="Heinrich Burkhardt (Mathematiker)">Heinrich Burkhardt</a>: Elliptische Funktionen. 3. Auflage. Vereinigung Wissenschaftlicher Verleger, Berlin [u. a.] 1920 (Funktionentheoretische Vorlesungen, Band 2).</li>

<li><a href="Heinrich_Dur%C3%A8ge" title="Heinrich Durège">Heinrich Durège</a>, <a href="Ludwig_Maurer_(Mathematiker)" title="Ludwig Maurer (Mathematiker)">Ludwig Maurer</a>: Theorie der Elliptischen Funktionen. 5. Auflage. Teubner, Leipzig 1908.</li>

<li><a href="Eberhard_Freitag" title="Eberhard Freitag">Eberhard Freitag</a>, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 4. Auflage. Springer, Berlin [u. a.] 2006, ISBN 3-540-31764-3.</li>

<li><a href="Robert_Fricke_(Mathematiker)" title="Robert Fricke (Mathematiker)">Robert Fricke</a>: Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen. 3 Bände. (Band 1, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/stream/elliptischenfun02ricrich#page/n7/mode/2up">Band 2</a>, Band 3 (2011) posthum veröffentlicht). Teubner, Berlin/Leipzig 1916–1922, 2. Auflage 1930. ND Springer, Berlin/Heidelberg [u. a.] 2011, ISBN 978-3-642-19556-3, ISBN 978-3-642-19560-0, ISBN 978-3-642-20953-6.</li>

<li><a href="Jeremy_Gray" title="Jeremy Gray">Jeremy Gray</a>: The Real and the Complex: A History of Analysis in the 19th Century. Springer, Cham [u. a.] 2015.</li>

<li><a href="Christian_Houzel" title="Christian Houzel">Christian Houzel</a>: Elliptische Funktionen und Abelsche Integrale. In: Jean Dieudonné (Hrsg.): Geschichte der Mathematik. Kapitel 7, Vieweg, 1985, S. 422–540.</li>

<li><a href="Adolf_Hurwitz" title="Adolf Hurwitz">Adolf Hurwitz</a>, <a href="Richard_Courant" title="Richard Courant">Richard Courant</a>: Vorlesungen über allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktionen. 4. Auflage. Springer, Berlin [u. a.] 1964. (Die <a href="Grundlehren_der_mathematischen_Wissenschaften" title="Grundlehren der mathematischen Wissenschaften">Grundlehren der mathematischen Wissenschaften</a> in Einzeldarstellungen, Bd. 3). 5. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg [u. a.] 2000.</li>

<li><a href="Felix_Klein_(Mathematiker)" title="Felix Klein (Mathematiker)">Felix Klein</a>: Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert. Band 1, Julius Springer Verlag, Berlin 1926.</li>

<li><a href="Max_Koecher" title="Max Koecher">Max Koecher</a>, <a href="Aloys_Krieg" title="Aloys Krieg">Aloys Krieg</a>: Elliptische Funktionen und Modulformen. 2. Auflage. Springer, Berlin [u. a.] 2007, ISBN 978-3-540-49324-2.</li>

<li><a href="Francesco_Giacomo_Tricomi" class="mw-redirect" title="Francesco Giacomo Tricomi">Francesco Giacomo Tricomi</a>, <a href="Maximilian_Krafft" title="Maximilian Krafft">Maximilian Krafft</a>: Elliptische Funktionen. Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig 1948 (Mathematik und ihre Anwendungen in Physik und Technik, Reihe A, Band 20).</li>

<li>Robert Fricke: Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen: Dritter Teil. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-20953-6, ISBN 978-3-642-20954-3 (E-Book).</li>

<li>Folkmar Bornemann, Dirk Laurie, Stan Wagon und Jörg Waldvogel: Vom Lösen numerischer Probleme, Seite 275</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"></div><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Elliptic_functions?uselang=de">Commons: Elliptische Funktion</a> – Sammlung von Bildern</div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Rolf Busam: <cite style="font-style:italic">Funktionentheorie 1</cite>. 4., korr. und erw. Auflage. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-32058-6, S. 259.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Elliptische+Funktion&rft.au=Rolf+Busam&rft.btitle=Funktionentheorie+1&rft.date=2006&rft.edition=4.%2C+korr.+und+erw.&rft.genre=book&rft.isbn=9783540320586&rft.pages=259&rft.place=Berlin&rft.pub=Springer" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Rolf Busam: <cite style="font-style:italic">Funktionentheorie 1</cite>. 4., korr. und erw. Auflage. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-32058-6, S. 258.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Elliptische+Funktion&rft.au=Rolf+Busam&rft.btitle=Funktionentheorie+1&rft.date=2006&rft.edition=4.%2C+korr.+und+erw.&rft.genre=book&rft.isbn=9783540320586&rft.pages=258&rft.place=Berlin&rft.pub=Springer" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Jeremy Gray: <cite style="font-style:italic">The Real and the Complex: A History of Analysis in the 19th Century</cite>. Cham 2015, ISBN 978-3-319-23715-2, S. 118 f.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Elliptische+Funktion&rft.au=Jeremy+Gray&rft.btitle=The+Real+and+the+Complex%3A+A+History+of+Analysis+in+the+19th+Century&rft.date=2015&rft.genre=book&rft.isbn=9783319237152&rft.pages=118+f&rft.place=Cham" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Rolf Busam: <cite style="font-style:italic">Funktionentheorie 1</cite>. 4., korr. und erw. Auflage. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-32058-6, S. 260.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Elliptische+Funktion&rft.au=Rolf+Busam&rft.btitle=Funktionentheorie+1&rft.date=2006&rft.edition=4.%2C+korr.+und+erw.&rft.genre=book&rft.isbn=9783540320586&rft.pages=260&rft.place=Berlin&rft.pub=Springer" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> Rolf Busam: <cite style="font-style:italic">Funktionentheorie 1</cite>. 4., korr. und erw. Auflage. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-32058-6, S. 262.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Elliptische+Funktion&rft.au=Rolf+Busam&rft.btitle=Funktionentheorie+1&rft.date=2006&rft.edition=4.%2C+korr.+und+erw.&rft.genre=book&rft.isbn=9783540320586&rft.pages=262&rft.place=Berlin&rft.pub=Springer" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-:0-6">↑ <a href="#cite_ref-:0_6-0">a</a> <a href="#cite_ref-:0_6-1">b</a> K. Chandrasekharan: <cite style="font-style:italic">Elliptic functions</cite>. Springer-Verlag, Berlin 1985, ISBN 0-387-15295-4, S. 28.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Elliptische+Funktion&rft.au=K.+Chandrasekharan&rft.btitle=Elliptic+functions&rft.date=1985&rft.genre=book&rft.isbn=0387152954&rft.pages=28&rft.place=Berlin&rft.pub=Springer-Verlag" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> Rolf Busam: <cite style="font-style:italic">Funktionentheorie 1</cite>. 4., korr. und erw. Auflage. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-32058-6, S. 275.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Elliptische+Funktion&rft.au=Rolf+Busam&rft.btitle=Funktionentheorie+1&rft.date=2006&rft.edition=4.%2C+korr.+und+erw.&rft.genre=book&rft.isbn=9783540320586&rft.pages=275&rft.place=Berlin&rft.pub=Springer" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> Rolf Busam: <cite style="font-style:italic">Funktionentheorie 1</cite>. 4., korr. und erw. Auflage. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-32058-6, S. 276.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Elliptische+Funktion&rft.au=Rolf+Busam&rft.btitle=Funktionentheorie+1&rft.date=2006&rft.edition=4.%2C+korr.+und+erw.&rft.genre=book&rft.isbn=9783540320586&rft.pages=276&rft.place=Berlin&rft.pub=Springer" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> Jeremy Gray: <cite style="font-style:italic">The Real and the Complex: A History of Analysis in the 19th Century</cite>. Cham 2015, ISBN 978-3-319-23715-2, S. 74.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Elliptische+Funktion&rft.au=Jeremy+Gray&rft.btitle=The+Real+and+the+Complex%3A+A+History+of+Analysis+in+the+19th+Century&rft.date=2015&rft.genre=book&rft.isbn=9783319237152&rft.pages=74&rft.place=Cham" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> Jeremy Gray: <cite style="font-style:italic">The Real and the Complex: A History of Analysis in the 19th Century</cite>. Cham 2015, ISBN 978-3-319-23715-2, S. 75.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Elliptische+Funktion&rft.au=Jeremy+Gray&rft.btitle=The+Real+and+the+Complex%3A+A+History+of+Analysis+in+the+19th+Century&rft.date=2015&rft.genre=book&rft.isbn=9783319237152&rft.pages=75&rft.place=Cham" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> Jeremy Gray: <cite style="font-style:italic">The Real and the Complex: A History of Analysis in the 19th Century</cite>. Cham 2015, ISBN 978-3-319-23715-2, S. 82.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Elliptische+Funktion&rft.au=Jeremy+Gray&rft.btitle=The+Real+and+the+Complex%3A+A+History+of+Analysis+in+the+19th+Century&rft.date=2015&rft.genre=book&rft.isbn=9783319237152&rft.pages=82&rft.place=Cham" style="display:none">

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<li id="cite_note-12"><a href="#cite_ref-12">↑</a> Jeremy Gray: <cite style="font-style:italic">The Real and the Complex: A History of Analysis in the 19th Century</cite>. Cham 2015, ISBN 978-3-319-23715-2, S. 81.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Elliptische+Funktion&rft.au=Jeremy+Gray&rft.btitle=The+Real+and+the+Complex%3A+A+History+of+Analysis+in+the+19th+Century&rft.date=2015&rft.genre=book&rft.isbn=9783319237152&rft.pages=81&rft.place=Cham" style="display:none">

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<li id="cite_note-13"><a href="#cite_ref-13">↑</a> <a href="Eric_Weisstein" title="Eric Weisstein">Eric W. Weisstein</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/JacobiThetaFunctions.html">Jacobi Theta Functions.</a> In: <a href="MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a> (englisch).

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<li id="cite_note-19"><a href="#cite_ref-19">↑</a> Adrien-Marie Legendre: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.fr/books?id=tR3pvoE3HcMC&printsec=frontcover&hl=fr">Mémoire sur les transcendantes elliptiques,</a> où l’on donne des méthodes faciles pour comparer et évaluer ces trancendantes, qui comprennent les arcs d’ellipse, et qui se rencontrent frèquemment dans les applications du calcul intégral. Du Pont & Firmin-Didot, Paris 1792. Englische Übersetzung <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.fr/books?id=vNULAAAAYAAJ&pg=347&hl=fr">A Memoire on Elliptic Transcendentals.</a> In: Thomas Leybourn: New Series of the Mathematical Repository. Band 2. Glendinning, London 1809, Teil 3, S. 1–34.

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<li id="cite_note-24"><a href="#cite_ref-24">↑</a> Jeremy Gray: <cite style="font-style:italic">The Real and the Complex: A History of Analysis in the 19th Century</cite>. Cham 2015, ISBN 978-3-319-23715-2, S. 96.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Elliptische+Funktion&rft.au=Jeremy+Gray&rft.btitle=The+Real+and+the+Complex%3A+A+History+of+Analysis+in+the+19th+Century&rft.date=2015&rft.genre=book&rft.isbn=9783319237152&rft.pages=96&rft.place=Cham" style="display:none">

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